一個商業決策：如何在眾多可能的地點中，選擇開設服務設施 (例如：倉庫、分店) 的位置，來最小化總成本？

1. 問題的基本設定 (Given)

• 設施集合 F (Facilities): 一堆潛在可以蓋設施的地點。

• 城市集合 C (Cities): 一堆需要服務的客戶或城市。

2. 相關成本 (Costs)

有兩種主要的成本：

• 開設成本 fi (Opening Cost):

• 這是指如果你決定在潛在地點 i ∈ F 蓋一個設施，你需要支付的固定成本。

• 連接成本 cij (Connection Cost):

• 這是指從城市 j 連接到設施 i 所需的成本。

• 在這個問題中，連接成本通常就是兩點之間的距離 (distance)。

3. 決策與目標 (The Problem)

你的決策是要找到兩樣東西，讓總成本最小化：

1. 要開設的設施子集 I ⊆ F (Subset of Facilities to Open): 決定要在哪些地點 I 實際開設設施。

2. 連接函數 ∅: C → I (Connection Function): 決定每個城市 j ∈ C 應該連接到哪一個已經開設的設施 ∅(j) ∈ I。

4. 最小化的總成本函數 (The Objective)

總成本由兩部分組成，目標是讓它們的總和最小：

• 第一部分： 所有被開設設施的總開設成本。（你選了 I 裡面的哪些設施，就計算那些設施的 fi 總和。）

• 第二部分： 所有城市連接到它們所選設施的總連接成本。（每個城市 j 連接到它被分配到的設施 ∅(j)，計算這個連接距離的總和。）

5. 【解釋說明】(Interpretation)

• I: The set of facilities to open：哪些設施是活著的、有營運的。

• ∅ : indicating which facility city j connects to：每個客戶 j 會被指派給最近（或連接成本最低）的活著的設施。

• The connection costs satisfy the triangle inequality. (連接成本滿足三角不等式)：

1. 這是「度量 (Metric)」這個詞的來源，它是一個關鍵限制。

2. 三角不等式： 兩點之間，直線距離永遠最短。如果你從城市 A 經過一個中繼點 B 再到城市 C，這段距離不會比 A 直接到 C 的距離更短。在最佳化問題中，這保證了距離的合理性，避免了繞路的荒謬解。

總結來說：